Modelando al Covid-19

Covid-19 es una enfermedad infecciosa que ha afectado a países de todo el mundo. El SARS-CoV-2, que es miembro de la familia de los coronavirus, es el virus que produce la infección. Hasta el 28 de septiembre de 2020, casi 34 millones de personas infectadas por el virus y más de 1 millón de personas murieron en todo el mundo.

Desde las primeras publicaciones de datos sobre el genoma del COVID-19, los investigadores se apresuraron a desarrollar vacunas para frenar la propagación del COVID-19. Dada la inviabilidad de los bloqueos a largo plazo, y la eficacia del rastreo de contactos en un gran número de casos, así como la disponibilidad de varias vacunas COVID-19 aprobadas, muchos países han invertido en implementaciones de vacunación masiva. Como ejemplo se tiene el programa de vacunación de Italia que comenzó a fines de diciembre de 2020 y dio prioridad a los trabajadores de la salud, los residentes de hogares de ancianos y las personas mayores de 80 años. Hasta el 26 de marzo de 2021, se habían vacunado en Italia 2,787,749 personas con ambas dosis (se habían administrado 8,765,085 dosis en total). Podemos analizar el éxito de su método de vacunación y determinar si puede ser aplicado a la vacunación de la población México.

En este estudio, se presenta un modelo matemático para el análisis del mejor método de aplicación de la vacunación COVID-19 en México. Vale la pena señalar que la ausencia de datos confiables, y más aún, de datos en constante progresión, hacen que esta estimación sea muy difícil, especialmente en el contexto de una pandemia. Un modelo matemático simple podría proporcionar un enfoque y arrojar algo de luz sobre este tema, y el método y las conclusiones de este estudio pueden ayudar a facilitar el establecimiento de prioridades en el proceso de aplicación de la vacuna.

Modelo SIR

El modelo SIR es un modelo epidemiológico que calcula el número teórico de personas infectadas con una enfermedad contagiosa en una población cerrada a lo largo del tiempo. El nombre de esta clase de modelos se debe a que involucran ecuaciones acopladas que relacionan el número de personas susceptibles S(t), el número de personas infectadas I(t) (o en el caso de este modelo E(t)) y el número de personas que han recuperado R (t) (o en el caso de este modelo D(t)).

Se formaron dos modelos matemáticos para la vacunación de la población de México, con el fin de comparar ambos y establecer cual modelo es la más eficaz. El modelo SIR es la misma para ambos modelos, el cambio reside en los variables y su orden dentro de la tasa inicial de cambio de del programa de vacunación en México.

Para los modelos describimos la dinámica en subpoblaciones: A asintomáticos, G Gente que sale, Al, gente aislada, IC infectados que se cuidan, I infectados, V vacunados, R recuperados. Estos son funciones del tiempo, medidas en días.

Como son funciones denotaremos las subpoblaciones de manera que A(t) son los infectados que no tienen síntomas, G(t) la gente que tiene necesidad de salir, Al(t) aquellos que normalmente permanecen en sus hogares, manteniendo el aislamiento, IC(t) aquellos contagiados que se han aislado o cuentan con cuidados y tratamiento, I(t) los infectados que no mantienen aislamiento, V(t) aquellos que ya fueron vacunados y R(t) aquellos que ya vacunaron.

La población de México es un total de 127.6 millones y la tasa de mortalidad natural antes de la pandemia era de 59 personas por cada 10,000 habitantes, lo que nos da un valor del µ=.0059, de ahí tenemos la fórmula N=P/µ, donde N es el total de la población y P es el valor con el cual se calculará el valor de la tasa de mortalidad, de manera que al despejar P para la diferencial de S (las personas susceptibles); nos queda un P= 752,840.

Condición inicial. La suma de las variables es el total de la población:

N(t)=S(t)+E(t)+D(t)

Condición inicial. Toda la población es susceptible: S(0)=N(0)

Tasa de cambio susceptibles:

dS/dt= N-P-((A(t)-G(t)-Al(t)+R(t)+V(t))

Tasa de cambio de contagiados:

dE/dt= A(t)-I(t)-ICt)-0.81r

Tasa de cambio de personas con defensas:

dD/dt= R(t)+V(t)

Modelos de vacunación

Modelo 1

En donde V(t) tiene un valor esperado de V(t)=240,000t, a partir de una optimización de los datos del esquema de vacunación vigente, en el que el valor podría variar entre 99000t y 600000t. A partir de V(t) dado se espera que la campaña de vacunación continúe durante un año dos meses más. En el caso de disminución de dosis, tomando un escenario de V(t)=99000t, se podría esperar que el periodo de vacunación se extienda hasta dos años y diez meses adicionales en total. Además, se consideró en ambos esquemas que solo se vacunaría a la población que al momento de la aplicación de la vacuna tengan dieciséis años cumplidos. La Tasa inicial de cambio del programa de vacunación en México, viene dada por

dV/dt= -(M(t)-T(t)+C(t)+P(t)+Q(t)+H(t)+J(t))

donde M(t) = médicos, T(t) = tercera edad, P(t) = profesores, C(t) = mayores de 50 años, Q(t) = mayores de 50 años, H(t) = mayores de 30 años, J(t) = Jóvenes 16-29 años.

Para las tasas de cambio de la vacunación con respecto al tiempo, se toman las funciones M(t)

1era Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)-(T(t)+C(t)+P(t)+Q(t)+H(t)+J(t)),

donde M(t) tomada a partir del día en que comenzó la vacunación a personal de la salud, se toma como una función líneal en donde la pendiente es el promedio de médicos vacunados diarios hasta el día que se concluyó la administración de la dosis completa del esquema de vacunación al sector salud. M(t)=mt

2da Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)-(C(t)+Q(t)+H(t)+J(t))

3 era Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)+C(t)-(P(t)+Q(t)+J(t))

4ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)+C(t)+P(t)-(Q(t)+J(t))

5ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)-C(t)-P(t)+Q(t)-J(t)

6ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)-(C(t)-(P(t)+Q(t)+J(t)

En el modelo 1 se insertaron los datos de cada población, con la etapa principal y si en promedio se hubieran vacunado a 240,000 personas diarias; el cuerpo médico que tomamos en cuenta es de 640,000 se hubiera terminado de aplicar la primera dosis en 3 días, en lugar de los meses que tardaron, aumentado así el ritmo de aceleración de las personas vacunadas que se toman como recuperadas en nuestro modelo.

De la población total en promedio se hubiera muerto por causas naturales un total de 752,000 habitantes dejando un total de 126.8 millones de habitantes y si la constante de vacunación es de 240,000 dosis diarias sería de 528 días la duración de la pandemia.

Modelo 2

Para el segundo modelo de la misma manera se ha dividido a las personas en subpoblaciones, estas en función del tiempo (30 días), donde M(t) es el personal médico, T(t) son las personas de la tercera edad, EC(t) son las personas que padecen enfermedades crónicas que los hagan susceptibles al contagio, TE(t) personas que ejercen trabajos esenciales, B(t) Mayores de 35 años, J(t) resto de la población en edad de vacunarse (16 años).

Además, V(t) tiene un valor esperado de V(t)=467,400t, a partir de una optimización de los datos del esquema de vacunación vigente, en el que el valor podría variar entre 100,000t y 550,000t, en base al número de dosis aplicadas al día en México. A partir de V(t) dado se espera que la campaña de vacunación continúe durante 10 meses más. En el caso de disminución de dosis, tomando un escenario promedio de V(t)= 325,000t, se podría esperar que el periodo de vacunación se extienda hasta doce meses adicionales en total. Además, se consideró en ambos esquemas que solo se vacunaría a la población que al momento de la aplicación de la vacuna tengan dieciséis años cumplidos.

De manera que el modelo de vacunación es el siguiente:

dV/dt= -(M(t)+T(t)+EC(t)-TE(t)+B(t)+J(t)),

que es la tasa inicial del cambio del programa de vacunación en México.

1era Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)-(T(t)+EC(t)+TE(t)+B(t)+J(t)),

2da Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)-(EC(t)+TE(t)+B(t)+J(t)),

3 era Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)+EC(t)-(TE(t)+B(t)+J(t)),

4ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)+EC(t)+TE(t)-(B(t)+J(t)),

5ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= M(t)+T(t)+EC(t)+TE(t)-B(t)-J(t),

6ta Etapa de la Campaña de Vacunación:

dV/dt= (M(t)+T(t)+EC(t)-TE(t)+B(t)+J(t)),

En el modelo 2 se insertaron los datos de cada población, con la etapa principal y si en promedio se hubieran vacunado a 325,00 personas diarias; el cuerpo médico que tomamos en cuenta es de 640,000 se hubiera terminado de aplicar la primera dosis de 2 a 3 días, en lugar de los meses que tardaron, aumentado así el ritmo de aceleración de las personas vacunadas que se toman como recuperadas en nuestro modelo.

De la población total en promedio se hubiera muerto por causas naturales un total de 752,000 habitantes dejando un total de 126.8 millones de habitantes y si la constante de vacunación es de 325,000 dosis diarias sería de 391 días la duración de la pandemia.

Análisis de resultados

Si la población se fuera a cuarentena los números de días disminuirían demasiado, como se presenta en las siguientes gráficas.

Modelo SARS COVID-19 SIR. Sin Vacunación

Modelo SARS COVID-19 SIR. Con Vacunación.

El modelo SIR es bastante adecuado para plantear un escenario inicial de las infecciones, pero siendo lapsos de tiempo tan cortos si se quisiera estudiar una segunda ola o rebotes, el modelo no tiene la capacidad para ello destacando que este mismo solo toma en cuenta factores específicos.

Los modelos previamente propuestos son idealistas ya que lamentablemente en México es difícil contar con un sistema tan estricto, ¿y por qué? por qué no se lleva el control necesario para poder contabilizar el número de enfermos, mayores de 60 años, trabajadores, etc., con el hecho de tener trabajos no registrados e ilegales, no se podría mantener un orden al momento de vacunar y esto no solos aplica para los trabajadores no registrados ante el gobierno, la mayor parte se registra en el área de la salud, los miles de mexicanos que no saben están enfermos y mueren en su ignorancia respecto a su enfermedad o los tantos miles de mexicanos que sabiendo o intuyendo algún problema en su vida, deciden ignorarlo por falta de recursos o motivaciones para poder ir a un hospital, por ende un modelo tan idealista y estricto no podría llevarse a cabo en México, existen muchos factores que hacen imposible llevar un control tan recto y fuera de atajos.

5. Referencias:

[1] N/A. (2021). Perspectiva en Cifras COVID-19. Mayo 9, 2021, de INEGI Sitio web: https://www.inegi.org.mx/investigacion/covid/

[2] N/A. (2020). Discapacidad. Mayo 7, 2021, de INEGI Sitio web: https://www.inegi.org.mx/temas/discapacidad/

[3] N/A. (2021). Visualizador Analítico Para el COVID. Mayo 11, 2021, de INEGI Sitio web: https:gaia.inegi.org.mx/covid19/

[4] N/A. (2021). Vacunación COVID. Mayo 3, 2021, de Gobierno de México Sitio web: https://coronavirus.gob.mx/vacunacion-covid/

[5] N/A. (2021). Datos de muertes, recuperados y dosis COVID-19. Mayo 7, 2021, de Covid visualizer Sitio web: https://www.covidvisualizer.com/

[6] Cano, (2021). Avance de aplicación de vacunas COVID-19. Mayo 5, 2021, Sitio web: https://datos.nexos.com.mx/como-va-el-avance-en-la-aplicacion-de-vacunas-contra-covid-19-en-mexico-corte-al-10-de-abril-de-2021/

[7] Prieto, (2021). Aritmética de plan de vacunación. Mayo 7, 2021, Sitio web: https://datos.nexos.com.mx/aritmetica-del-plan-de-vacunacion-de-mexico/

[8] Rock, (2019). Oxford Mathematician explains SIR Disease Model for COVID-19 (Coronavirus). 4 de Mayo de 2021, Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=NKMHhm2Zbkw

[9] Figueroa A. & García M. (2021). Gráfica_modelo. Mayo 12, 2021, Sitio web: https://colab.research.google.com/drive/1yCxGKtVI19ro5h7iG_IPTWpoKGx9rRS6?usp=sharing#scrollTo=ewZ4L6kiSSgf

[10] Nofe, A., Sadoof, A., Libin, R. & Meir, S.. (2017). Mathematical model and simulations of MERS outbreak: Predictions and implications for control measures. Abril 23. 2021, de BIOMATH Sitio web: http://www.biomathforum.org/biomath/index.php/biomath/article/view/j.biomath.2016.12.141/pdf

Ana Sofía Figueroa Rodríguez egresada de la Preparatoria Emiliano Zapata, actualmente estudiante de la licenciatura en Física de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la BUAP.

Marlon Steve G. egresado de la Preparatoria Emiliano Zapata, actualmente estudiante de la licenciatura en Física de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la BUAP.