Principios de cinemática (Parte I)

Por Eduardo Morales Velázquez

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia el movimiento en función del tiempo sin considerar las causas que dan lugar a este, de esta manera, el análisis de gráficas de movimiento es crucial para el mejor entendimiento de la cinemática; comencemos planteando la siguiente pregunta, ¿Qué variables respecto al tiempo estudia la cinemática?

Para responder esta pregunta es necesario comprender la diferencia entre desplazamiento y trayectoria, el desplazamiento (denotado por Δ𝑥 para el eje horizontal) es la diferencia entre la posición final y la posición inicial de un objeto respecto a un marco de referencia, mientras que la trayectoria (por el momento denotada por d) es el recorrido de un objeto durante su movimiento, es decir, el desplazamiento es la distancia más corta de un punto a otro, esto es, una línea recta sobre el plano, la trayectoria, en cambio, considera todos los puntos sobre los cuales se ubica el objeto sobre el plano durante su movimiento.

A partir de esto se puede hacer una distinción notable entre el concepto de velocidad media (denotado por v con una → arriba) y la rapidez también llamada celeridad (denotada por ); la diferencia entre ambos radica en el carácter vectorial de la velocidad, es decir, dependiente de su dirección dentro de un marco de referencia, mientras que la celeridad es una magnitud escalar, por definición, una magnitud que se expresa igual para todos los marcos de referencia. Esta idea se puede comprender mejor si se observa la definición de ambos conceptos:

Se puede notar la relación entre los conceptos previamente expuestos, donde el carácter vectorial de la velocidad se debe a que depende del desplazamiento (que es un vector con magnitud, dirección, sentido y origen), mientras que a la rapidez solamente le concierne cual es el valor numérico de la trayectoria recorrida, sin importar cuáles sean sus características sobre el plano.

Un ejemplo de esto es la rapidez y la velocidad de un deportista al recorrer una pista circular con una circunferencia de 100 metros, donde la salida y la meta se ubican en el mismo punto, la celeridad del atleta será entonces la razón entre los 100 metros que mide la pista y el tiempo que le tomó darle una vuelta, no obstante, su velocidad media es 0 m/s, puesto que su desplazamiento luego de salir de un punto de la circunferencia y volver al mismo lugar es de 0 metros.

La última de las variables “básicas” que estudia la cinemática es la aceleración media (denotada por a y una → arriba ), referida a la tasa de cambio de la velocidad en un determinado intervalo de tiempo, y se define análogamente a la velocidad media como:

Vistos estos puntos, veamos lo que sucede al graficar las variables mencionadas; empezando por la gráfica de posición contra tiempo:

Figura 1: Gráfica de posición tiempo

Como se puede apreciar en la imagen, al graficar la posición en función del tiempo por definición la velocidad media es igual a la pendiente de la recta que la función describa, una generalización algo más útil es la siguiente:

Es decir, la velocidad en un instante determinado de tiempo es igual la derivada de la función de posición respecto del tiempo evaluada en ese instante de posición, esta “generalización” de la velocidad media, llamada velocidad instantánea resulta muy importante cuando la función de posición es diferente a una recta.

La gráfica de velocidad contra tiempo, análoga a la de posición contra tiempo cumple ciertas propiedades interesantes:

Esto es que, la aceleración instantánea es la derivada de la función de velocidad respecto al tiempo evaluada en un determinado momento, o la segunda derivada de la función de posición respecto al tiempo igualmente evaluada en un determinado instante.

Figura 2: Gráfica de velocidad tiempo

Además, se cumple que el área bajo la curva de la función de velocidad graficada contra el tiempo es igual al desplazamiento total del objeto en movimiento, para aceleraciones constantes esto es:

De aquí inmediatamente:

Una generalización de esto para aceleraciones no constantes es:

Figura 3. Gráfica de aceleración tiempo

Por último, para la gráfica de aceleración contra tiempo, la característica especial de esta gráfica es que su pendiente no nos brinda información, no obstante, el área bajo la curva de la función de aceleración contra tiempo es igual al cambio de la velocidad del objeto en movimiento, esto es ya generalizado para aceleraciones no constantes:

Con esta integral, finalizamos la primera parte del artículo, en una futura entrega veremos a deducción de las ecuaciones de cinemática del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, caída libre, tiro vertical y un par de ecuaciones de movimiento rectilíneo con aceleración variable, ¡hasta entonces!

Problemas Propuestos:

1. (Sears y Zemansky) ¿El velocímetro de un automóvil mide su rapidez o su velocidad?

2. (Sears y Zemansky) ¿En qué condiciones la magnitud de la velocidad media es igual a la rapidez media?

3. (Sears y Zemansky) ¿Puede usted tener desplazamiento 0 y velocidad media distinta

   de 0? Ilustre su respuesta en una gráfica de posición contra tiempo.

4. (Pérez Montiel) Si un barco navega en el mismo sentido de la corriente de un río, consume menos combustible que cuando va en sentido contrario a la corriente. ¿Cómo explicaría este comportamiento del consumo de combustible?

5. (Pérez Montiel) Un barco navega a una velocidad de 60 km/h en un río cuya velocidad es de 15 km/h al norte. Calcular:

   a) La velocidad del barco si va en la misma dirección y sentido de la corriente del río.

   b) La velocidad del barco si va en la misma dirección, pero en sentido contrario a la corriente del río.

   c) La velocidad del barco al cruzar el río de una orilla a la otra. Encontrar también la dirección que llevará el barco.

Bibliografía

Montiel, H. P. (2004). Física General. En H. P. Montiel, Física General (págs. 65-70). Publicaciones Cultural.

Sears, Z. Y. (2018). Física Universitaria con Física Moderna 1. En Z. Y. Sears, Física Universitaria con Física Moderna 1 (págs. 34-57). Pearson.

Del autor

¡Hola! Soy Eduardo, me gusta la física, la historia y las matemáticas, siempre trato de mejorar para algún día ser como quienes admiro.